[공간통계] 다차원척도법 (multidimensional scaling)

다차원 척도법(Multidimensional Scaling, MDS)은 다차원 공간에서의 객체 간의 거리나 유사성을 저차원 공간에서 재현하려는 통계적 기법이다.

기본 아이디어는 고차원의 복잡한 관계를 더 쉽게 이해하고 해석할 수 있는 저차원(주로 2D나 3D) 공간으로 매핑하는 것이다.

MDS는 먼저 각 객체 쌍 사이의 '거리'나 '비유사성'에 대한 행렬을 생성한다. 이 행렬은 직접 측정할 수 있거나 다른 방법으로 추정할 수 있다. 이 행렬을 기반으로 저차원 공간에서의 새로운 포인트 위치를 찾아내는 최적화 과정을 거친다.

최적화의 목표는 저차원 공간에서의 거리가 원래 고차원 공간에서의 거리나 유사성을 최대한 잘 반영하는 것이다. 이를 위해 스트레스 함수나 평가 지표가 사용되며, 이 값이 최소가 되도록 계산을 진행한다.

다차원 척도법은 또한 객체간의 유사성뿐만 아니라 변수 간의 관계를 시각화할 때도 유용하게 사용된다. 예를 들어, 여러 개의 제품 속성을 고려할 때 각 속성이 얼마나 서로 관련이 있는지를 저차원 공간에서 쉽게 볼 수 있다.

MDS의 한계 중 하나는 계산 복잡성과 결과의 해석성이다. 최적화 과정은 종종 시간이 많이 소요되며, 저차원 공간으로의 매핑이 항상 명확하게 해석되지는 않을 수 있다.

총체적으로 볼 때, 다차원 척도법은 복잡한 다차원 데이터를 분석하고 시각화하는 데 매우 유용한 도구이다. 이를 통해 데이터의 내재적인 구조를 더 잘 이해할 수 있으며, 복잡한 문제에 대한 통찰력을 얻을 수 있다.